H 哈密顿力学讲义Lecture notes
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哈密顿力学讲义

从拉格朗日形式进入相空间语言，把概念、推导、例题和复习动作组织成连续讲义。

主题：分析力学后的哈密顿形式 版本：2026-06-07 阅读方式：连续讲义 + 练习实验附录
q p H(q,p)=E phase flow
目录

全书目录

  1. 第 01 讲 哈密顿力学起点路线

    确定从拉格朗日力学进入哈密顿力学时需要掌握的概念、问题和 6 周路线。

  2. 第 02 讲 从拉格朗日量到哈密顿方程

    把共轭动量、勒让德变换和哈密顿方程作为一个连续推导读完。

  3. 练习 02 勒让德变换与哈密顿方程

    用自由粒子、简谐振子、中心力场等模型检查推导是否真正过关。

  4. 实验 01 相空间、辛积分与 6 周推进

    把 notebook、相图、辛积分和每周复盘结合成可执行的学习节奏。

第 01 讲

哈密顿力学起点路线

确定从拉格朗日力学进入哈密顿力学时需要掌握的概念、问题和 6 周路线。

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这份路线假设你已经大致学过牛顿力学、广义坐标、拉格朗日量和欧拉-拉格朗日方程。前面内容不再作为主线重复，只在需要时回补。

起点诊断

开始哈密顿力学前，至少应能完成这些动作：

  • 给定简单系统，写出 L(q, qdot, t) = T - V。
  • 从 L 推出欧拉-拉格朗日方程。
  • 识别循环坐标，并知道对应共轭动量守恒。
  • 理解作用量驻定，而不是逐点最小化 L。

如果这些内容只是“见过但不熟”，可以边学哈密顿边回查，不必退回完整重学。

6 周路线

周 1：从拉格朗日量到哈密顿量

核心问题：

  • 为什么要把速度 qdot 换成动量 p？
  • 勒让德变换到底改变了什么？
  • H 什么时候等于总能量，什么时候不等于？

产出：

周 2：相空间图像

核心问题：

  • 为什么状态要由 (q, p) 而不是 (q, qdot) 描述？
  • 相轨道、能量曲线和时间演化的关系是什么？
  • 平衡点在相空间中如何分类？

产出：

周 3：辛结构与刘维尔定理

核心问题：

  • 哈密顿流为什么保持相空间面积？
  • “辛”这个结构比能量守恒更基本吗？
  • 普通数值积分为什么可能破坏相空间几何？

产出：

  • 比较 Euler、RK4、symplectic Euler、Verlet 的能量误差。
  • 解释为什么辛积分长期行为通常更可信。

周 4：泊松括号

核心问题：

  • 泊松括号如何统一运动方程和守恒量判据？
  • {F, H} = 0 的物理含义是什么？
  • 泊松括号为什么预告了量子力学中的对易子？

产出：

  • 一页纸：泊松括号性质与典型计算。
  • 题目：角动量代数、中心力场守恒量。

周 5：正则变换

核心问题：

  • 哪些变量替换保持哈密顿方程形式不变？
  • 生成函数如何系统地产生正则变换？
  • 正则变换和坐标变换的差别是什么？

产出：

  • 笔记：四类生成函数。
  • 题目：简谐振子的作用量-角变量。

周 6：哈密顿-雅可比理论

核心问题：

  • 哈密顿-雅可比方程为什么把力学问题变成偏微分方程？
  • 作用量函数 S 与轨道、动量有什么关系？
  • 它怎样通向 WKB 和量子化条件？

产出：

  • 笔记：从 Hamilton-Jacobi 到 WKB 的概念桥。
  • 阶段复盘：用哈密顿语言重讲简谐振子、中心力场、单摆。

每周固定学习循环

  1. 先读核心问题，不急着看公式。
  2. 写出一个最小模型，例如自由粒子或简谐振子。
  3. 完成推导：L -> p -> H -> Hamilton equations。
  4. 画相图，判断守恒量。
  5. 用 notebook 或手算检查一个极限情形。
  6. 在 progress/review_log.md 记录卡点。
第 02 讲

从拉格朗日量到哈密顿方程

把共轭动量、勒让德变换和哈密顿方程作为一个连续推导读完。

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这一节回答的问题

拉格朗日力学用构型空间中的 q 和 qdot 描述运动。哈密顿力学改用相空间中的 q 和 p。这不是记号替换，而是把理论的基本对象换成了“坐标-动量”对，使时间演化成为相空间中的流。

1. 共轭动量

给定拉格朗日量

\[L(q,\dot q,t)\]

定义共轭动量

\[p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\]

注意：共轭动量不一定等于普通机械动量 mv。在电磁场中，带电粒子的共轭动量会包含矢势项。

2. 勒让德变换

如果关系

\[p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\]

可以反解出

\[\dot q_i = \dot q_i(q,p,t)\]

就定义哈密顿量

\[H(q,p,t) = \sum_i p_i \dot q_i - L(q,\dot q,t)\]

其中右边的 qdot 最后要全部用 q,p,t 表示。

直觉上，勒让德变换把“以速度为自变量的函数”换成“以动量为自变量的函数”。这在几何上对应从切丛 TQ 转向余切丛 T*Q。

3. 哈密顿方程

对 H = p_i qdot_i - L 做微分：

\[dH = \sum_i \dot q_i dp_i + \sum_i p_i d\dot q_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}d\dot q_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt\]

利用 p_i = partial L / partial qdot_i，中间两项抵消：

\[dH = \sum_i \dot q_i dp_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt\]

再用欧拉-拉格朗日方程

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}\]

即

\[\dot p_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}\]

得到

\[dH = \sum_i \dot q_i dp_i - \sum_i \dot p_i dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt\]

另一方面，把 H 看作 H(q,p,t)：

\[dH = \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i + \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}dt\]

比较系数：

\[\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}\]
\[\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\]

这就是哈密顿方程。

4. 例子：简谐振子

拉格朗日量：

\[L = \frac{1}{2}m\dot x^2 - \frac{1}{2}kx^2\]

共轭动量：

\[p = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x\]

哈密顿量：

\[H = p\dot x - L = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2\]

哈密顿方程：

\[\dot x = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}\]
\[\dot p = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx\]

合并得到

\[\ddot x + \frac{k}{m}x = 0\]

5. H 是否总等于能量？

不总是。

常见结论：

  • 若系统是自然系统，L = T(q,\dot q) - V(q)，且 T 对速度是二次齐次，通常 H = T + V。
  • 若 L 显含时间，H 通常不守恒。
  • 若存在速度线性项，例如电磁相互作用，H 仍可能是能量，但共轭动量和机械动量不同。
  • 若勒让德变换退化，不能直接进入普通哈密顿形式，需要约束哈密顿理论。

6. 学习检查

你应该能不用翻笔记完成：

  1. 从 L 写出 p。
  2. 反解 qdot(q,p,t)。
  3. 写出 H = p qdot - L。
  4. 推出两条哈密顿方程。
  5. 判断 H 是否显含时间，是否守恒。

7. 物理图像

拉格朗日力学强调“路径”：真实轨道让作用量驻定。

哈密顿力学强调“流”：每个相空间点 (q,p) 都有一个由 H 决定的速度方向

\[(\dot q, \dot p) = \left( \frac{\partial H}{\partial p}, -\frac{\partial H}{\partial q} \right)\]

因此，一个哈密顿系统不是只给出一条轨道，而是在整个相空间上给出一个流场。

练习 02

勒让德变换与哈密顿方程

用自由粒子、简谐振子、中心力场等模型检查推导是否真正过关。

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A. 基础推导

  1. 自由粒子：

    2. L = (1/2)m xdot^2。求 p、H 和哈密顿方程。

  1. 简谐振子：

    2. L = (1/2)m xdot^2 - (1/2)k x^2。求 H，并从哈密顿方程推出二阶运动方程。

  1. 均匀重力场中的粒子：

    2. L = (1/2)m zdot^2 - mgz。写出 H 并解释每一项。

  1. 平面极坐标中的中心力场：

    2. L = (1/2)m(rdot^2 + r^2 phidot^2) - V(r)。求 p_r、p_phi、H，并指出哪个量守恒。

B. 概念判断

  1. 为什么哈密顿力学的状态空间是 (q,p)，而不是只用 q？
  2. 共轭动量一定等于机械动量吗？给出一个反例或预告性例子。
  3. 如果 H 不显含时间，为什么沿真实轨道 dH/dt = 0？
  4. 勒让德变换失败意味着什么？它通常和什么物理问题有关？

C. 进阶计算

  1. 带时间依赖频率的振子：

    2. L = (1/2)m xdot^2 - (1/2)k(t)x^2。写出 H，判断它是否守恒。

  1. 带速度线性项的模型：

    2. L = (1/2)m xdot^2 + a(x)xdot - V(x)。求共轭动量和哈密顿量。说明 p 与 m xdot 的差别。

  1. 单摆哈密顿量：

    2. L = (1/2)ml^2 theta_dot^2 - mgl(1 - cos theta)。求 p_theta、H 和哈密顿方程。

  1. 退化拉格朗日量：

    2. L = a(q) qdot - V(q)。计算 p。为什么无法直接反解 qdot(q,p)？

D. 自检标准

每道题完成后检查：

  • 是否先定义了共轭动量？
  • 是否真的把所有 qdot 都换成了 q,p,t？
  • 哈密顿方程的负号是否正确？
  • 是否说明了守恒量来自时间平移或循环坐标？
  • 是否区分了“哈密顿量形式”和“总能量解释”？
实验 01

相空间、辛积分与 6 周推进

把 notebook、相图、辛积分和每周复盘结合成可执行的学习节奏。

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第 1 周：勒让德变换和哈密顿方程

第 2 周：相空间和能量曲线

  • 用手画自由粒子、简谐振子、单摆的相图。
  • 运行 相空间与辛积分实验。
  • 比较相轨道和真实空间轨道的区别。

第 3 周：辛积分和长期行为

  • 比较显式 Euler、RK4、symplectic Euler 和 Verlet。
  • 重点观察能量误差是否单调漂移。
  • 写一段短评：为什么能量误差小不等于结构保持好。

第 4 周：泊松括号

  • 学习定义 {F,G}。
  • 证明 dF/dt = {F,H} + partial F / partial t。
  • 计算 {x,p}、{L_x,L_y}、{H,H}。

第 5 周：正则变换

  • 学习保持泊松括号或辛形式的变量变换。
  • 用简谐振子练习作用量-角变量。
  • 分清普通坐标变换和正则变换。

第 6 周：Hamilton-Jacobi

  • 学习 H(q, partial S / partial q, t) + partial S / partial t = 0。
  • 用自由粒子或简谐振子做一个可分离例子。
  • 写一页总结：哈密顿力学如何连接量子力学。

每周交给 Codex 的任务

  • 周初：“按本周主题问我 8 个诊断问题。”
  • 周中：“检查我的第 N 题推导，重点看符号和变量替换。”
  • 周末：“根据 review_log 给我安排下周复习。”
附录

练习、实验与工具

讲义正文按阅读顺序连续排列；下面这些入口用于复习、计算实验和快速检索，不打断主阅读线。

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