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哈密顿力学起点路线
这份路线假设你已经大致学过牛顿力学、广义坐标、拉格朗日量和欧拉-拉格朗日方程。前面内容不再作为主线重复，只在需要时回补。
起点诊断
开始哈密顿力学前，至少应能完成这些动作：
- 给定简单系统，写出
L(q, qdot, t) = T - V。 - 从
L推出欧拉-拉格朗日方程。 - 识别循环坐标，并知道对应共轭动量守恒。
- 理解作用量驻定，而不是逐点最小化
L。
如果这些内容只是“见过但不熟”，可以边学哈密顿边回查，不必退回完整重学。
6 周路线
周 1：从拉格朗日量到哈密顿量
核心问题：
- 为什么要把速度
qdot换成动量p？ - 勒让德变换到底改变了什么？
H什么时候等于总能量，什么时候不等于？
产出：
周 2：相空间图像
核心问题：
- 为什么状态要由
(q, p)而不是(q, qdot)描述？ - 相轨道、能量曲线和时间演化的关系是什么？
- 平衡点在相空间中如何分类？
产出：
- notebook：相空间与辛积分实验
- 手绘三张相图：自由粒子、简谐振子、单摆。
周 3：辛结构与刘维尔定理
核心问题：
- 哈密顿流为什么保持相空间面积？
- “辛”这个结构比能量守恒更基本吗？
- 普通数值积分为什么可能破坏相空间几何？
产出：
- 比较 Euler、RK4、symplectic Euler、Verlet 的能量误差。
- 解释为什么辛积分长期行为通常更可信。
周 4：泊松括号
核心问题：
- 泊松括号如何统一运动方程和守恒量判据？
{F, H} = 0的物理含义是什么？- 泊松括号为什么预告了量子力学中的对易子？
产出：
- 一页纸：泊松括号性质与典型计算。
- 题目：角动量代数、中心力场守恒量。
周 5：正则变换
核心问题：
- 哪些变量替换保持哈密顿方程形式不变？
- 生成函数如何系统地产生正则变换？
- 正则变换和坐标变换的差别是什么？
产出：
- 笔记：四类生成函数。
- 题目：简谐振子的作用量-角变量。
周 6：哈密顿-雅可比理论
核心问题：
- 哈密顿-雅可比方程为什么把力学问题变成偏微分方程？
- 作用量函数
S与轨道、动量有什么关系？ - 它怎样通向 WKB 和量子化条件？
产出：
- 笔记：从 Hamilton-Jacobi 到 WKB 的概念桥。
- 阶段复盘：用哈密顿语言重讲简谐振子、中心力场、单摆。
每周固定学习循环
- 先读核心问题，不急着看公式。
- 写出一个最小模型，例如自由粒子或简谐振子。
- 完成推导：
L -> p -> H -> Hamilton equations。 - 画相图，判断守恒量。
- 用 notebook 或手算检查一个极限情形。
- 在
progress/review_log.md记录卡点。