题单 01：从牛顿到拉格朗日

A. 概念题

1. 为什么完整约束可以减少自由度，而非完整约束通常不能简单地通过坐标替换消去？
2. 虚位移和真实位移的区别是什么？为什么虚位移常在固定时间下讨论？
3. 如果一个坐标没有显式出现在拉格朗日量中，它对应的共轭动量为什么守恒？
4. “作用量取驻定值”为什么不应简单理解为“自然总是选择最省力的路径”？

B. 标准推导

1. 对一维自由粒子 L = (1/2)m\dot x^2，由欧拉-拉格朗日方程推出匀速直线运动。
2. 对竖直平面内单摆，选 \theta 为广义坐标，写出 T、V、L 并推出运动方程。
3. 证明若 L' = L + dF(q,t)/dt，则 L 与 L' 给出相同的欧拉-拉格朗日方程。
4. 对中心力场 V(r)，在平面极坐标下写出拉格朗日量，并找出守恒角动量。

C. 迁移应用

1. 质量为 m 的小球在半径为 R 的光滑圆环上运动，圆环以角速度 \Omega 绕竖直直径匀速旋转。写出拉格朗日量并分析平衡点。
2. 阿特伍德机中两个质量分别为 m_1、m_2 的物体由不可伸长轻绳连接。用一个广义坐标写出拉格朗日量并求加速度。
3. 一个质量为 M 的小车可在水平面无摩擦运动，小车上挂一长度为 l 的单摆。选合适广义坐标，写出系统拉格朗日量。

D. 检查标准

每道题完成后检查：

• 是否明确了广义坐标和自由度？
• 是否写清了动能和势能的参考点？
• 是否区分了约束力和广义力？
• 是否说明了守恒量来自哪个循环坐标或对称性？