题单 02：勒让德变换与哈密顿方程

A. 基础推导

1. 自由粒子：

L = (1/2)m xdot^2。求 p、H 和哈密顿方程。

1. 简谐振子：

L = (1/2)m xdot^2 - (1/2)k x^2。求 H，并从哈密顿方程推出二阶运动方程。

1. 均匀重力场中的粒子：

L = (1/2)m zdot^2 - mgz。写出 H 并解释每一项。

1. 平面极坐标中的中心力场：

L = (1/2)m(rdot^2 + r^2 phidot^2) - V(r)。求 p_r、p_phi、H，并指出哪个量守恒。

B. 概念判断

1. 为什么哈密顿力学的状态空间是 (q,p)，而不是只用 q？
2. 共轭动量一定等于机械动量吗？给出一个反例或预告性例子。
3. 如果 H 不显含时间，为什么沿真实轨道 dH/dt = 0？
4. 勒让德变换失败意味着什么？它通常和什么物理问题有关？

C. 进阶计算

1. 带时间依赖频率的振子：

L = (1/2)m xdot^2 - (1/2)k(t)x^2。写出 H，判断它是否守恒。

1. 带速度线性项的模型：

L = (1/2)m xdot^2 + a(x)xdot - V(x)。求共轭动量和哈密顿量。说明 p 与 m xdot 的差别。

1. 单摆哈密顿量：

L = (1/2)ml^2 theta_dot^2 - mgl(1 - cos theta)。求 p_theta、H 和哈密顿方程。

1. 退化拉格朗日量：

L = a(q) qdot - V(q)。计算 p。为什么无法直接反解 qdot(q,p)？

D. 自检标准

每道题完成后检查：

• 是否先定义了共轭动量？
• 是否真的把所有 qdot 都换成了 q,p,t？
• 哈密顿方程的负号是否正确？
• 是否说明了守恒量来自时间平移或循环坐标？
• 是否区分了“哈密顿量形式”和“总能量解释”？