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变分原理

核心命题

在固定初末时刻与固定端点的条件下，真实运动轨道使作用量

S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot q, t)\,dt

取驻定值：

\delta S = 0

这里“驻定”不等于一定最小，也可能是最大或鞍点。

取一条邻近路径

q(t,\epsilon)=q(t)+\epsilon\eta(t)

其中扰动满足端点固定条件：

\eta(t_1)=\eta(t_2)=0

作用量的一阶变化为

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta \right)dt

对第二项分部积分：

\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta\,dt = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q}\eta \right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right)\eta\,dt

边界项因端点固定而消失，因此

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \right]\eta\,dt

由于任意满足端点条件的扰动 \eta(t) 都必须让 \delta S=0，括号内必须处处为零：

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0

这就是欧拉-拉格朗日方程。

选角度 \theta 为广义坐标。长度为 l、质量为 m 的单摆有

T = \frac{1}{2}ml^2\dot\theta^2

若取最低点为势能零点：

V = mgl(1-\cos\theta)

因此

L = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot\theta^2 - mgl(1-\cos\theta)

欧拉-拉格朗日方程给出

ml^2\ddot\theta + mgl\sin\theta = 0

即

\ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0

小角近似下 \sin\theta \approx \theta，得到简谐振子：

\ddot\theta + \frac{g}{l}\theta = 0