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从拉格朗日量到哈密顿方程

这一节回答的问题

拉格朗日力学用构型空间中的 q 和 qdot 描述运动。哈密顿力学改用相空间中的 q 和 p。这不是记号替换，而是把理论的基本对象换成了“坐标-动量”对，使时间演化成为相空间中的流。

1. 共轭动量

给定拉格朗日量

L(q,\dot q,t)

定义共轭动量

p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}

注意：共轭动量不一定等于普通机械动量 mv。在电磁场中，带电粒子的共轭动量会包含矢势项。

2. 勒让德变换

如果关系

p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}

可以反解出

\dot q_i = \dot q_i(q,p,t)

就定义哈密顿量

H(q,p,t) = \sum_i p_i \dot q_i - L(q,\dot q,t)

其中右边的 qdot 最后要全部用 q,p,t 表示。

直觉上，勒让德变换把“以速度为自变量的函数”换成“以动量为自变量的函数”。这在几何上对应从切丛 TQ 转向余切丛 T*Q。

3. 哈密顿方程

对 H = p_i qdot_i - L 做微分：

dH = \sum_i \dot q_i dp_i + \sum_i p_i d\dot q_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}d\dot q_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt

利用 p_i = partial L / partial qdot_i，中间两项抵消：

dH = \sum_i \dot q_i dp_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt

再用欧拉-拉格朗日方程

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}

即

\dot p_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}

得到

dH = \sum_i \dot q_i dp_i - \sum_i \dot p_i dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt

另一方面，把 H 看作 H(q,p,t)：

dH = \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i + \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}dt

比较系数：

\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}

\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}

这就是哈密顿方程。

4. 例子：简谐振子

拉格朗日量：

L = \frac{1}{2}m\dot x^2 - \frac{1}{2}kx^2

共轭动量：

p = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x

哈密顿量：

H = p\dot x - L = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2

哈密顿方程：

\dot x = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}

\dot p = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx

合并得到

\ddot x + \frac{k}{m}x = 0

5. `H` 是否总等于能量？

不总是。

常见结论：

若系统是自然系统，L = T(q,\dot q) - V(q)，且 T 对速度是二次齐次，通常 H = T + V。
若 L 显含时间，H 通常不守恒。
若存在速度线性项，例如电磁相互作用，H 仍可能是能量，但共轭动量和机械动量不同。
若勒让德变换退化，不能直接进入普通哈密顿形式，需要约束哈密顿理论。

6. 学习检查

你应该能不用翻笔记完成：

从 L 写出 p。
反解 qdot(q,p,t)。
写出 H = p qdot - L。
推出两条哈密顿方程。
判断 H 是否显含时间，是否守恒。

7. 物理图像

拉格朗日力学强调“路径”：真实轨道让作用量驻定。

哈密顿力学强调“流”：每个相空间点 (q,p) 都有一个由 H 决定的速度方向

(\dot q, \dot p) = \left( \frac{\partial H}{\partial p}, -\frac{\partial H}{\partial q} \right)

因此，一个哈密顿系统不是只给出一条轨道，而是在整个相空间上给出一个流场。